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Chapitre 10 • Équations différentielles
2. Aucune difficulté ici : il s'agit de résoudre une équation différentielle linéaire
homogène du second ordre à coefficients constants, ce qui peut se faire en cherchant
les racines de l'équation caractéristique.
Il reste alors à revenir à la variable initiale, c'est-à-dire remplacer u par ln(x) dans
le résultat.
L'équation caractéristique est r 2 − r + 1 = 0.
Elle possède deux racines complexes conjuguées distinctes
1
2
± i
√
3
2
.
On en déduit qu'il existe deux constantes réelles λ et µ telles que, pour tout
réel u :
z(u) = e
u
2
λ cos
√
3
2
u
+ µ sin
√
3
2
u
soit, en revenant à la variable initiale, pour tout réel x > 0 :
y(x) =
√
x
λ cos
√
3
2
ln x
+ µ sin
√
3
2
ln x
.
Exercice 10.4 : Utilisation de séries entières (cas régulier)
En utilisant les séries entières, résoudre l'équation différentielle :
(1 − x 2 ) y (x) − 6 x y (x) − 4 y(x) = 0 .
Exprimer la solution générale à l'aide de fonctions usuelles.
Dans chaque intervalle ] − ∞,−1[, ] − 1,1[, ]1,+∞[ l'équation est équivalente à :
y (x) −
6 x
1 − x 2 y (x) −
4
1 − x 2 y(x) = 0.
Les fonctions p(x) = −
6 x
1 − x 2 et q(x) = −
4
1 − x 2 sont développables en séries
entières. Dans un tel cas, vous pouvez peut-être savoir que toute solution définie au
voisinage de l'origine y est développable en série entière.
Mais vous devez savoir que, sur chacun des intervalles cités, les solutions forment
un espace vectoriel de dimension 2. Donc si la recherche des solutions développables en séries entières conduit à un tel espace, c'est que vous avez toutes les solutions; sinon il faudra continuer.
Cherchons une solution sous la forme y(x) =
+∞
n=0
a n x
n , sous réserve que
le rayon de convergence soit non nul.