y (x) = u (x) e x + 2u (x) e x + u(x) e x
puis on reporte dans l'équation (E). Après simplications, il reste :
u (x) =
2
(x + 1) 3 ·
Par calcul de primitive, on obtient : u (x) = −
1
(x + 1) 2 , puis u(x) =
1
x + 1
.
Attention, il ne faut pas oublier de reporter dans y(x).
On obtient donc la solution générale de (E) :
y(x) =
1
x + 1
+ Ax + B
e x
avec A et B réels quelconques.
Ici la méthode de variation de la constante est plus simple et plus rapide que la
méthode de variation des constantes. C'est toujours le cas quand l'équation caractéristique a une racine double. Sinon, les méthodes sont d'usages comparables.
On pouvait aussi remarquer que l'équation (E) est équivalente à :
e −x y
=
2
(1 + x) 3 ·
Exercice 10.2 : Utilisation d'une solution « évidente »
1. Résoudre l'équation différentielle :
(E)
(1 + x) y − 2y + (1 − x) y = x e −x .
sur un intervalle ne contenant pas x = −1.
2. Étudier le prolongement éventuel à R.
Regardez bien les coefficients du premier membre. D'accord ils ne sont pas constants,
donc pas d'équation caractéristique. Mais ils ont une propriété intéressante.
1. La somme des coefficients du premier membre est égale à 0. L'équation
homogène associée à (E) admet donc e x comme solution particulière.
On va utiliser la méthode de variation de la constante, c'est-à-dire considérer
une fonction auxiliaire u(x) telle que y(x) = u(x)e x soit solution de (E).
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Chapitre 10 • Équations différentielles