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Chapitre 10 • Équations différentielles
En dérivant, on obtient :
y (x) = u (x)e x + u(x)e x
y (x) = u (x)e x + 2u (x)e x + u(x)e x .
En reportant dans (E) et en simplifiant, on obtient :
(1 + x)u (x) + 2xu (x) = x e −2x .
Vous observez que u(x) a disparu, ce qui est toujours le cas dans la méthode utilisée, et constitue donc un outil d'auto-contrôle.
L'équation différentielle que nous venons d'obtenir est linéaire d'ordre 1 par
rapport à la fonction u (x).
Sur un intervalle ne contenant pas x = −1, la solution générale de l'équation homogène associée est :
f (x) = A exp
−
2x
1 + x
dx
= A exp
−2
x + 1 − 1
1 + x
dx
= A exp (−2x + 2 ln|x + 1|) = A(x + 1) 2 e −2x
où A est une constante réelle quelconque.
On en déduit par variation de la constante :
u
(x) = A(x + 1)
2 e
−2x
−
x +
1
2
e
−2x ,
puis u(x) par un calcul de primitives, qui se fait avec deux intégrations par
parties, et qui donne :
u(x) = −
A
2
e −2x
x 2 + 3x +
5
2
+ B +
x + 1
2
e −2x
où A et B sont des constantes réelles quelconques.
La solution générale de (E) sur un intervalle ne contenant pas x = −1 est
donc de la forme :
y(x) = −
A
2
e −x
x 2 + 3x +
5
2
+ B e x +
x + 1
2
e −x .
2. D'après la question précédente, il existe des constantes A 1 , B 1 , A 2 , B 2
telles que :
∀x ∈] − ∞,−1[ y(x) =−
A 1
2
e −x
x 2 + 3x +
5
2
+ B 1 e x +
x + 1
2
e −x