• Méthode de variation des constantes
Considérons deux fonctions auxiliaires A(x) et B(x), dérivables autant de
fois que nécessaire, telles que y(x) = A(x) x e x + B(x) e x soit solution
de (E) avec, en plus la condition : 0 = A (x) x e −2x + B (x) e −2x .
En calculant y (x) et y (x) et en reportant dans (E), ou en utilisant vos
connaissances de cours, on obtient que les fonctions inconnues A (x) et
B (x) vérifient le système :



(1 + x) A (x) + B (x) =
2
(x + 1) 3
x A (x) + B (x) =
0
Le déterminant du système linéaire en A (x) et B (x) est le wronskien :
1 + x 1
x
1
= 1 = / 0 .
La résolution du système (par les formules de Cramer par exemple) donne :

  
  
A (x) =
2
(x + 1) 3
B (x) = −
2x
(x + 1) 3 =
2
(x + 1) 3 − 2
2x
(x + 1) 2
ce qui conduit aux primitives :
A(x) = −
1
(x + 1) 2 + A ; B(x) =
2x + 1
(x + 1) 2 + B
puis à la solution générale de (E) :
y(x) =
−x
(x + 1) 2 +
2x + 1
(x + 1) 2 + Ax + B
e
x
=
1
x + 1
+ Ax + B
e
x
avec A et B réels quelconques.
• Méthode de variation de la constante
Choisissons une solution particulière (non nulle) de l'équation homogène, la
plus simple : e x . Considérons une fonction auxiliaire u(x) telle que
y(x) = u(x) e x soit solution de (E). On calcule les dérivées :
y (x) = u (x) e x + u(x) e x
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Chapitre 10 • Équations différentielles