Donc, pour x >
A
b n 0 ε
on obtient
f (x)
g(x)
− L
2ε ; soit lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= L.
Exercice 9.14 : Calcul de la somme d'une série numérique
Soit f (x) =
arcsin x
√
1 − x 2
.
1. Justifier que f possède un développement en série entière. Quel est son rayon
de convergence ?
2. Montrer que f vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 1, puis calculer le développement en série entière de f.
3. En déduire la valeur de : S =
+∞
n=0
1
2n
n
.
1. La fonction f est le produit de deux fonctions possédant un développement en série entière de rayon 1. Elle possède donc un développement en
série entière de rayon 1. Ce rayon est égal à 1 car f n'est pas définie en
x = 1.
2. Pour obtenir une équation différentielle, calculons la dérivée :
f
(x) =
1
1 − x 2 + arcsin x ×
x
(1 − x 2 )
3
2
.
On en déduit que f vérifie l'équation différentielle :
(1 − x
2
) f
(x) = 1 + x f (x) .
Comme f est un fonction impaire, son développement en série entière
s'écrit :
f (x) =
+∞
n=0
a n x
2n+1 .
On reporte dans l'équation différentielle :
+∞
n=0
(2n + 1)a n x
2n
−
+∞
n=0
(2n + 1)a n x
2n+2
−
+∞
n=0
a n x
2n+2
= 1 ,
soit en changeant les indices si nécessaire pour avoir x 2n partout :
+∞
n=0
(2n + 1) a n x
2n
−
+∞
n=1
2 n a n−1 x
2n
= 1 .
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Chapitre 9 • Séries entières