L'unicité du développement en série entière entraîne :
a 0 = 1 et pour tout n 1 : a n =
2n
2n + 1
a n−1 .
On en déduit en substituant de proche en proche :
a n =
2n
2n + 1
×
2(n − 1)
2n − 1
× · · · ×
2
3
a 0 =
2 n n!
2
(2n + 1)!
=
2 2n
(2n + 1)
2n
n
soit : f (x) =
+∞
n=0
2 2n
(2n + 1)
2n
n
x
2n+1 .
3. Pour x ∈] − 1,1[, on peut dériver :
f
(x) =
+∞
n=0
2 2n
2n
n
x
2n .
donc :
S =
+∞
n=0
1
2n
n
= f
1
2
=
4
3
+
2π
9
√
3
.
Pour votre entraînement, voici un autre énoncé qui permet d'obtenir la valeur de S.
1. Démontrer que
1
0
t
n
(1 − t)
n dt =
1
(2n + 1)
2n
n
(intégrer par parties).
2. Donner une expression de S =
+∞
n=0
1
2n
n
sous forme d'une intégrale de fraction
rationnelle (utiliser
+∞
n=0
x
n et
+∞
n=0
nx
n ).
3. Calculer S.
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Chapitre 9 • Séries entières