On peut améliorer le résultat obtenu :
h(1) = lim
N →+∞
N
n=1
ln
1 +
1
n
−
1
n
= lim
N →+∞
ln (N + 1) −
N
n=1
1
n
= −γ (constante d’Euler)
On a donc montré (au voisinage de 1 − ) que :
g(x) = −
ln (1 − x)
1 − x
−
γ
1 − x
+ o
1
1 − x
.
Exercice 9.13 : Limite du quotient de deux sommes
Soit
a n x
n et
b n x
n deux séries entières de rayon de convergence infini.
On suppose que a n 0 et b n > 0 pour tout n, et que lim
n→∞
a n
b n
= L.
On note f (x) =
+∞
n=0
a n x
n et g(x) =
+∞
n=0
b n x
n .
Montrer que :
lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= L .
Il y a la limite d'une suite dans l'hypothèse et la limite d'une fonction dans la conclusion. Utilisez les définitions avec ε pour aller de l'une à l'autre.
La définition de la limite de l'hypothèse s'écrit :
∀ε > 0
∃n 0 ∈ N
∀n n 0
a n
b n
− L
ε .
Avec la majoration |a n − Lb n | εb n utilisable à partir de n 0 , on a donc :
+∞
n=0
a n x
n
− L
+∞
n=0
b n x
n
n 0 −1
n=0
|a n − Lb n |x
n
+
+∞
n=n 0
εb n x
n
On en déduit pour x 1 :
+∞
n=0
a n x
n
+∞
n=0
b n x
n
− L
n 0 −1
n=0
a n − Lb n
x
n 0 −1
+∞
n=0
b n x
n
+ ε
+∞
n=n 0
b n x
n
+∞
n=0
b n x
n
A
b n 0 x
+ ε
en posant A =
n 0 −1
n=0
a n − Lb n
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
291
Chapitre 9 • Séries entières