Exercice 9.12 : Un équivalent de la somme
Soit g la fonction définie par g(x) =
+∞
n=2
ln (n) x
n .
Donner un équivalent de g(x) au voisinage de 1.
On pourra considérer (1 − x) g(x).
Pour donner un sens à la question posée, commencez par des informations sur l'ensemble de définition de g.
• Pour |x| < 1, on a lim
n→+∞
ln n |x|
n
= 0 (croissance comparée du logarithme et des puissances). La série entière a donc un rayon de convergence
R 1.
Et en fait R = 1 puisque pour x = ±1 le terme général ne tend pas vers 0.
La fonction g est définie sur ] − 1,1[.
• Utilisons l'indication de l'énoncé.
(1 − x)g(x) =
+∞
n=1
ln(n + 1) x
n+1
−
+∞
n=2
ln(n) x
n+1
=
+∞
n=1
ln
1+
1
n
x
n+1
On sait que ln
1 +
1
n
∼
n→+∞
1
n
ce qui permet de penser à faire intervenir
+∞
n=1
1
n
x
n+1
= − ln (1 − x) .
Considérons la fonction h définie sur ] − 1,1[ par :
h(x) = (1 − x)g(x) + ln (1 − x) =
+∞
n=1
ln
1 +
1
n
−
1
n
x
n+1 .
Comme
ln
1 +
1
n
−
1
n
∼
n→+∞
1
2n 2 la série entière qui définit h(x)
converge normalement sur [−1,1]. Par suite, h est continue sur [−1,1],
d'où :
lim
x→1
x<1
(1 − x)g(x) + ln (1 − x)
= h(1) .
La somme a une limite finie, le second terme tend vers l'infini ; on a donc :
(1 − x)g(x) ∼
x→1
x<1
− ln (1 − x) ou encore : g(x) ∼
x→1
x<1
−
ln (1 − x)
1 − x
.
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Chapitre 9 • Séries entières