En résumé :
∀M > 0
∃δ ∈]0,1[
∀x ∈]δ,1[
f (x) M
ce qui est la définition de :
lim
x→1
x<1
f (x) = +∞
et montre que f n'est pas continue sur [−1,1].
3. • Considérons les sommes partielles S n (x) associées à la série qui définit f (x). On a :
(1 − x)S n (x) =
n
k=0
a k x
k
−
n
k=0
a k x
k+1
= a 0 +
n−1
k=0
(a k+1 − a k ) x
k+1
− a n x
n+1
Pour x ∈ [0,1], on a :
0 a n x
n+1 a 0 x
n+1
⇒ lim
n→∞
a n x
n+1
= 0 .
• La série
+∞
k=0
(a k+1 − a k ) x
k+1 converge normalement sur [0,1] car :
∀x ∈ [0,1]
(a k+1 − a k ) x
k+1
a k − a k+1
et la série numérique de terme général a k − a k+1 est convergente car la
suite de ses sommes partielles
n
k=0
(a k − a k+1 ) = a 0 − a n+1 tend vers
a 0 − l.
On en déduit :
lim
x→1
x<1
+∞
k=0
(a k+1 − a k ) x
k+1
=
+∞
k=0
(a k+1 − a k ) = l − a 0 .
• Par conséquent :
lim
x→1
x<1
(1 − x) f (x) = a 0 + l − a 0 = l = lim
n→∞
a n .
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Chapitre 9 • Séries entières