1. Si x ∈]0,1[, comme la suite (a n ) est décroissante, on a : 0 a n x n a 0 x n ,
ce qui entraîne que la série
+∞
n=0
a n x
n converge.
Le rayon de convergence R de la série entière qui définit f (x) est donc tel
que R 1. De plus, la fonction f est continue sur ] − 1,1[.
Montrons maintenant l'équivalence demandée.
• Supposons que lim
n→+∞
a n = 0.
Sur [−1,0], la série qui définit f (x) est une série alternée qui vérifie alors
les hypothèses du critère spécial. On peut en déduire une majoration du
reste :
|R n (x)| |a n+1 x
n+1
| a n+1
qui est indépendante de x et qui tend vers 0.
La série est donc uniformément convergente sur [−1,0] et sa somme y est
continue.
La fonction f est donc continue sur [−1,1[.
• Supposons que f soit continue sur [−1,1[. Dans ce cas, la série
+∞
n=0
a n (−1)
n converge. On a donc nécessairement lim
n→+∞
a n = 0.
2. • Supposons que
a n converge. Comme :
∀x ∈ [−1,1]
|a n x
n
| a n
la convergence de la série
+∞
n=0
a n x
n est normale sur [−1,1],
donc f est continue sur [−1,1].
• Pour l'autre implication, démontrons la contraposée. Supposons donc que
a n diverge. Comme les termes sont positifs, elle tend vers l'infini et on
peut écrire :
∀M > 0 ∃N tel que
N
n=0
a n > M.
Puisque lim
x→1
x<1
N
n=0
a n x
n
=
N
n=0
a n , il existe δ ∈]0,1[ tel que, pour x ∈]δ,1[,
on ait
N
n=0
a n x
n M.
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Chapitre 9 • Séries entières