• Avec la première expression de f (x), on a :
4x f (x) = 4
+∞
n=1
(−1)
n
2n
n
n
2n − 1
x
n
et on peut rajouter n = 0 dans cette somme sans rien changer.
• On en déduit :
(1 + 4x) f (x) = 2
+∞
n=0
(−1)
n+1
2n
n
x
n
+ 4
+∞
n=0
(−1)
n
2n
n
n
2n − 1
x
n
=
+∞
n=0
(−1)
n
2n
n
x n
2n − 1
×
− 2(2n − 1) + 4n
= 2 f (x)
3. Pour |x| <
1
4
la résolution de l'équation différentielle f (x) =
2
1 + 4x
f (x)
conduit à :
f (x) = λ exp
x
0
2
1 + 4t
dt
= λ exp
1
2
ln (1 + 4x)
= λ
√
1 + 4x .
Avec f (0) = −1, on conclut :
f (x) = −
√
1 + 4x .
Exercice 9.11 : Conditions de continuité
Soit (a n ) une suite décroissante de réels strictement positifs. On pose :
f (x) =
+∞
n=0
a n x
n .
1. Montrer que : f continue sur [−1,1[⇐⇒ lim
n→+∞
a n = 0.
2. Montrer que : f continue sur [−1,1] ⇐⇒
a n converge.
3. Calculer lim
x→1
x<1
(1 − x) f (x).
La suite (a n ) est décroissante et minorée par 0. Elle est donc convergente vers l.
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Chapitre 9 • Séries entières
avec n
n+ 1
−→