avec
b n =
n
k=0
(−1) k
k!
.
Il vient donc :
a n = n!
n
k=0
(−1) k
k!
et
lim
n→+∞
a n
n!
=
1
e
.
Exercice 9.10 : Détermination d'une somme
Soit f (x) =
+∞
n=0
(−1)
n
2n
n
1
2n − 1
x
n
1. Donner le rayon de convergence de f (x).
2. Montrer que : 2 f = (1 + 4x) f .
3. En déduire f.
1. Utilisons la règle de d'Alembert. Le quotient :
|a n+1 x n+1 |
|a n x n |
=
(2n + 2)!
(n + 1)!
2 ×
n!
2
(2n)!
×
2n − 1
2n + 1
× |x| =
2(2n − 1)
n + 1
|x|
a pour limite 4 |x| quand n tend vers l'infini.
Le rayon de convergence de la série entière est donc égal à
1
4
.
2. • Pour x ∈
−
1
4
,
1
4
on peut calculer la dérivée :
f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n
2n
n
n
2n − 1
x
n−1
=
+∞
n=0
(−1)
n+1
2n + 2
n + 1
n + 1
2n + 1
x
n
=
+∞
n=0
(−1)
n+1 (2n + 2)(2n + 1)
(n + 1) 2
×
2n
n
×
n + 1
2n + 1
x
n
= 2
+∞
n=0
(−1)
n+1
2n
n
x
n
286
Chapitre 9 • Séries entières
en changeant n en n + 1