2. On pose f (x) =
+∞
n=0
a n
n!
x
n
Démontrer que cette série entière a un rayon de convergence non nul.
Donner une expression simple (sans série) de la fonction x → e x f (x).
3. En déduire la valeur de a n et la limite de
a n
n!
quand n tend vers +∞.
1. Soit E un ensemble à n éléments et k ∈ {0,. . . ,n} .
Les bijections de E dans lui-même ayant exactement k points fixes s'obtiennent en choisissant k éléments de E qui seront envoyés sur eux-mêmes
(
n
k
choix possibles) et en choisissant une bijection de l'ensemble des
autres éléments dans lui-même sans point fixe. Il y en a, par définition,
a n−k .
Dans le cas où k = n, il n'y a qu'une bijection de E dans lui-même avec n
points fixes, à savoir l'identité, et la formule reste vraie car on a posé, par
convention, a 0 = 1.
Comme il y a, au total, n! bijections de E dans lui-même, il vient :
n! =
n
k=0
n
k
a n−k .
2. a n est le cardinal d'un sous-ensemble de E qui est de cardinal n!. On a
donc 0 a n n! et enfin
a n
n!
1.
La série de terme général
a n
n!
x n est donc convergente pour tous les réels
x ∈] − 1,1[, ce qui montre que le rayon de convergence de la série entière
définissant f est supérieur ou égal à 1 et en particulier non nul.
De e x =
+∞
n=0
1
n!
x
n et
n
k=0
1
k!
a n−k
(n − k)!
=
1
n!
n
k=0
n
k
a n−k = 1
on déduit avec le produit de Cauchy :
e
x f (x) =
+∞
n=0
x
n
=
1
1 − x
.
3. Le produit de Cauchy de deux séries permet d'écrire :
f (x) =
e −x
1 − x
=
+∞
n=0
(−1) n
n!
x
n
+∞
n=0
x
n
=
+∞
n=0
b n x
n
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Chapitre 9 • Séries entières