+∞
n=N +1
(A n − l)x
n
+∞
n=N +1
|A n − l| x
n
+∞
n=N +1
ε x
n ε
x N +1
1 − x
d'où l'on déduit :
| f (x) − l| (1 − x)
N
n=0
(A n − l) x
n
+ ε
La fonction x → (1 − x)
N
n=0
(A n − l) x
n
est continue en 1.
En effet, elle est le produit de 1 − x et de la valeur absolue d'une fonction
polynomiale.
On en déduit qu'il existe un réel η > 0 tel que, pour x ∈ [0,1[ vérifiant
|1 − x| η, on a :
(1 − x)
N
n=0
(A n − l) x
n
ε .
Ainsi, il existe un réel η > 0 tel que, pour x ∈ [0,1[∩[1 − η,1 + η] ,
| f (x) − l| 2ε , ce qui montre que f (x) tend vers l, c'est-à-dire f (1),
quand x tend vers 1.
f est donc bien continue en 1.
3. Comme dit précédemment, ce théorème n'apporte une nouveauté que si
la série
n0
a n est convergente sans être absolument convergente, ce qui
est le cas des séries alternées classiques :
• a n =
(−1) n
n + 1
; alors f (x) = ln(1 + x), d'où :
+∞
n=0
(−1) n
n + 1
= ln 2 .
• a n =
(−1) n
2n + 1
; alors f (x) = arctan x, d'où :
+∞
n=0
(−1) n
2n + 1
=
π
4
.
Exercice 9.9 : Dénombrement
Étant donnés un entier naturel non nul n et un ensemble fini à n éléments E, on
note a n le nombre de bijections de E dans lui-même sans point fixe (c'est-à-dire
f : E → E , bijective, telle que f (x) = / x pour tout élément x de E).
On pose par ailleurs a 0 = 0.
1. Démontrer que, pour tout n ∈ N, n! =
n
k=0
n
k
a n−k .
On pourra, pour cela, dénombrer les bijections de E dans lui-même en fonction
de leur nombre de points fixes.
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Chapitre 9 • Séries entières