1. Par définition de la somme d'une série, la suite de terme général A n est convergente de limite l car c'est la suite des sommes partielles de la série de terme général a n . Autrement dit, dans cette première question, on a lim
n→+∞
A n = l.
Pour montrer que le rayon de convergence de la série entière
n0
(A n − l)x
n
est au moins 1, il suffit de démontrer que cette série converge absolument
pour tout réel x tel que |x| < 1.
C'est clair, car (A n − l)x n = o(x n ) et la série
n0
x
n est absolument convergente pour x ∈] − 1,1[.
On n'est rien censé savoir sur le comportement pour |x| = 1.
Par ailleurs, on remarque que A 0 = a 0 et, pour n ∈ N ∗ , a n = A n − A n−1 .
Pour x ∈ [0,1[ on a donc :
f (x) = a 0 +
+∞
n=1
(A n − A n−1 ) x
n
= a 0 +
+∞
n=1
A n x
n
−
+∞
n=1
A n−1 x
n
les deux séries convergent car la suite (A n ) est bornée car convergente
=
+∞
n=0
A n x
n
−
+∞
n=0
A n x
n+1
= (1 − x)
+∞
n=0
A n x
n
Par ailleurs, comme
∞
n=0
x
n
=
1
1 − x
pour x ∈ [0,1[, il vient :
l = (1 − x)
∞
n=0
l x
n .
2. Soit un réel ε > 0. Il existe un entier naturel N tel que, pour n N, on
a |A n − l| ε.
On peut écrire :
+∞
n=0
(A n − l)x
n
=
N
n=0
(A n − l)x
n
+
+∞
n=N +1
(A n − l) x
n
et majorer la deuxième expression :
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Chapitre 9 • Séries entières