1
1 − x − x 2 =
1
α − β
α
1 − α x
−
β
1 − β x
=
1
α − β
+∞
n=0
α
n+1 x
n
−
+∞
n=0
β
n+1 x
n
pour |x| < min
1
α
,
1
|β]
= |β|
=
1
α − β
+∞
n=0
(α
n+1
− β
n+1
) x
n
.
De l'unicité du développement en série entière à l'origine d'une fonction on
déduit :
s n =
α n+1 − β
n+1
α − β
.
Le rayon de convergence de la série
+∞
n=0
s n x
n est R = |β| =
√
5 − 1
2
.
Le procédé de cet exercice, qui consiste à associer à une suite récurrente linéaire
une série entière afin d'en obtenir l'expression explicite pour chaque valeur de n
est connu sous le nom de transformation en z et joue, dans la résolution des équations récurrentes linéaires, un rôle analogue à celui de la transformation de
Laplace dans la résolution des équations différentielles linéaires.
Exercice 9.8 : Convergence radiale
Soit f (x) =
+∞
n=0
a n x
n une série entière. On suppose que
n0
a n converge et on
note l sa somme.
1. On pose A n =
n
k=0
a k .
Montrer que la série entière
n0
(A n − l)x
n a un rayon de convergence supérieur
ou égal à 1 et que :
∀x ∈ [0,1[ f (x) − l = (1 − x)
+∞
n=0
(A n − l)x
n .
2. En déduire que f est continue en 1.
3. Proposer des applications de ce résultat pour retrouver des sommes de séries
numériques classiques.
282
Chapitre 9 • Séries entières