Exercice 9.7 : Avec une suite récurrente linéaire
Soit (s n ) la suite définie par s 0 = s 1 = 1 et s n = s n−1 + s n−2 pour n 2.
1. Montrer que, pour tout n ∈ N, s n 2 n et en déduire que le rayon R de convergence de
s n x
n n'est pas nul.
2. Calculer la somme S(x) de la série
+∞
n=0
s n x
n pour |x| < R.
3. Calculer R et s n pour tout n.
2. Considérer une série associée à S(x) et dont tous les termes sont nuls.
1. La relation s n 2 n pour tout n ∈ N, est immédiate (raisonner par récurrence).
De l'inégalité |s n x n | |2 x| 2 on déduit (théorème de comparaison des
séries à termes positifs) que la série
+∞
n=0
s n x
n converge absolument pour
|x| <
1
2
et, par suite, son rayon de convergence R vérifie R
1
2
.
2. La relation s n − s n−1 − s n−2 = 0 , pour n 2, conduit à :
0 =
+∞
n=2
(s n − s n−1 − s n−2 ) x
n
=
+∞
n=2
s n x
n
−
+∞
n=2
s n−1 x
n
−
+∞
n=2
s n−2 x
n
=
+∞
n=2
s n x
n
−
+∞
n=1
s n x
n+1
−
+∞
n=0
s n x
n+2
= S(x) − s 0 − s 1 x − x (S(x) − s 0 ) − x 2 S(x)
.
On en déduit, pour |x| < R, S(x) =
1
1 − x − x 2 .
3. En décomposant la fraction rationnelle S(x), on est conduit à poser :
α =
1 +
√
5
2
et β =
1 −
√
5
2
(soit α + β = 1 et αβ = −1 )
et on obtient :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 9 • Séries entières