f α est dérivable sur R \ {1}, et on a :
f
α (x) =
2
(1 − x) 2 tan
α
2
1 +
1 + x
1 − x
2
tan 2 α
2
=
sin α
x 2 − 2 cos αx + 1
.
Dans C[X], on décompose cette fraction rationnelle en éléments simples :
f
α (x) =
sin α
(x − e iα )(x − e −iα )
=
1
2i
1
x − e iα −
1
x − e −iα
Dans les deux dernières fractions rationnelles, on va factoriser pour pouvoir utiliser
le développement connu :
1
1 − z
=
+∞
n=0
z
n
avec la condition à surveiller : |z| < 1,
et l'objectif d'aboutir à des séries entières par rapport à x.
On a :
f
α (x) =
i
2
e −iα
1 − xe −iα −
e iα
1 − xe iα
À condition que |x| < 1, on en déduit :
f
α (x) =
i
2
+∞
n=0
x
n e
−(n+1)iα
−
+∞
n=0
x
n e
(n+1)iα
soit encore :
f
(x) =
+∞
n=0
x
n sin(n + 1)α .
Ce développement a d'abord été obtenu comme somme de deux séries
entières de rayon 1.
Son rayon est donc R 1.
D'autre part, avec α ∈]0,π[, la suite de terme général sin(n + 1)α ne tend
pas vers 0 : la série diverge pour x = 1.
On a donc R = 1.
En intégrant terme à terme, avec f (0) =
α
2
et en renumérotant, on obtient :
∀x ∈] − 1,1[
f (x) =
α
2
+
+∞
n=1
x n
n
sin nα .
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Chapitre 9 • Séries entières