La somme S est donc continue sur I puisque les fonctions u n sont continues.
2. Le développement en série entière connu le plus proche est :
+∞
n=1
x n
n
= −ln(1 − x) .
Pour s'en rapprocher, décomposons en éléments simples :
1
n(n − 1)
=
1
n − 1
−
1
n
.
On peut écrire S(x) comme somme de deux séries entières qui sont définies
sur ] − 1,1[ :
S(x) =
+∞
n=2
x n
n − 1
−
+∞
n=2
x n
n
.
On obtient donc, avec une mise en facteur et un premier terme à rajouter et
à enlever, pour tout x ∈] − 1,1[ :
S(x) = −x ln(1 − x)+
ln(1 − x)+x
= (1 − x) ln(1 − x)+x .
3. La continuité de S sur [−1,1] conduit à :
S(1) = lim
x→1
x<1
S(x) = 1 =
+∞
n=2
1
n(n − 1)
S(−1) = lim
x→−1
x>−1
S(x) = 2 ln2 − 1 =
+∞
n=2
(−1) n
n(n − 1)
Exercice 9.6 : Développement d'une fonction en série entière
Développer en série entière la fonction définie par :
f α (x) = arctan
1 + x
1 − x
tan
α
2
.
L'expression de f (x) est très compliquée : essayez f (x).
Pour que f α existe, il faut α /
≡ π (mod 2π).
D'autre part, f α+2π = f α et f −α = − f α , et f 0 = 0.
On peut donc se limiter à α ∈]0,π[.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
279
Chapitre 9 • Séries entières