La série de terme général
1
√
n
est positive et divergente (série de Riemann).
On peut donc en déduire que
u n (−1)
n diverge.
La série entière diverge pour la borne x = −1.
• Étude pour x = 1
On a alors : u n (1) n ∼
∞
(−1) n
√
n
, mais on ne peut rien en déduire puisque le
théorème sur les séries équivalentes suppose les séries de signe constant à
partir d'un certain rang.
Reprenons : u n =
(−1) n
√
n
−
1
n
+ o
1
n
.
La série de terme général
(−1) n
√
n
converge d'après le critère des séries alternées.
La série de terme général v n = −
1
n
+ o
1
n
vérifie v n ∼
∞
−
1
n
.
Le théorème sur les équivalents s'applique puisque −
1
n
est de signe constant
et, comme cette dernière série diverge, la série de terme général v n diverge.
Finalement, la série de terme général u n (1) n , somme d'une série convergente
et d'une série divergente, est divergente.
La série entière diverge pour la borne x = 1.
Exercice 9.5 : Convergence et calcul de la somme
1. Étudier la convergence et la continuité de la somme de la série entière :
+∞
n=2
x n
n(n − 1)
.
2. Calculer la valeur de la somme S(x).
3. Calculer S(1) et S(−1).
1. En posant : u n (x) =
x n
n(n − 1)
on a : lim
n→+∞
|u n+1 (x)|
|u n (x)|
= |x|.
La série entière a donc R = 1 pour rayon de convergence.
Pour x = ±1, on a |u n (x)| ∼
∞
1
n 2 et la série de Riemann de terme général
1
n 2
converge.
Le domaine de convergence de la série étudiée est I = [−1,1] , et la
convergence est normale sur I.
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Chapitre 9 • Séries entières