Exercice 9.4 : Domaine de convergence
On considère la série entière de terme général u n x n avec
u n = ln
(−1) n +
√
n
√
n + 1
.
Déterminer son rayon de convergence et étudier le comportement aux bornes.
Pour faciliter la recherche de limite utilisée dans la règle de d'Alembert, commencez par déterminer un équivalent de u n quand n tend vers l'infini.
Pour ceci, on pense aux développements limités. Il sera préférable d'avoir deux
termes non nuls pour l'étude aux bornes.
• Calculs préalables
Dans le quotient, factorisons le terme dominant au numérateur et au dénominateur :
(−1) n +
√
n
√
n + 1
=
√
n
(−1) n
√
n
+ 1
√
n
1 +
1
n
=
(−1) n
√
n
+ 1
×
1 +
1
n
− 1
2
=
1 +
(−1) n
√
n
×
1 −
1
2n
+ o
1
n
= 1 +
(−1) n
√
n
−
1
2n
+ o
1
n
Comme ln(1 + u) = u −
u 2
2
+ o(u 2 ), on en déduit :
u n =
(−1) n
√
n
−
1
n
+ o
1
n
.
On a donc : |u n | ∼
∞
1
√
n
.
• Rayon de convergence
lim
n→+∞
|u n+1 x n+1 |
|u n x n |
= lim
n→+∞
√
n |x|
√
n + 1
= |x| .
Le rayon de convergence de la série entière est donc R = 1.
• Étude pour x = −1
On a alors : u n (−1)
n
∼
∞
1
√
n
.
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Chapitre 9 • Séries entières