Quand la règle de d'Alembert ne peut pas être utilisée, revenez à la définition : le
nombre R est la borne supérieure des ensembles des réels r > 0 tels que :
+∞
n=0
a n r
n converge ; ou |a n | r n borné ; ou lim
n→+∞
a n r
n
= 0.
1. L'hypothèse entraîne :
|a n ||z|
n
|b n ||z|
n
|c n ||z|
n .
– Soit z tel que |z| < R. Comme
|c n ||z|
n converge, il en est de même de
|b n ||z|
n .
– Soit z tel que |z| > R. Comme
|a n ||z|
n diverge, il en est de même de
|b n ||z|
n .
La série entière
b n z
n a donc un rayon de convergence égal à R.
Exemples d'utilisation vus dans les oraux :
b n = n-ième décimale non nulle de π, de
√
3, . . .
b n = somme des diviseurs de n.
2. • Soit z tel que |z| < R 1 , alors on a : lim
n→+∞
a n z
n
= 0 .
Ceci entraîne : lim
n→+∞
a
2
n z
2n
= 0, soit |z 2 | R 2 , ou encore |z|
√
R 2 .
On vient de démontrer :
∀z
|z| < R 1 |z|
R 2 ,
ce qui entraîne : R 1
√
R 2 .
• Soit z tel que |z| < R 2 , alors on a : lim
n→+∞
a
2
n z
n
= 0.
Ceci entraîne : lim
n→+∞
(a n u)
2
= 0 avec u 2 = z,
puis lim
n→+∞
a n u = 0 ,
soit |u| R 1 , ou encore |z| R
2
1 .
On vient de démontrer :
∀z
|z| < R 2 |z| R
2
1 ,
ce qui entraîne : R 2 R
2
1 .
• En conclusion :
R 2 = R
2
1 .
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Chapitre 9 • Séries entières