1. On a : lim
n→+∞
|a n+1 z n+1 |
|a n z n |
= lim
n→+∞
(n + 1) 2
n 2
×
n 2 + 1
(n + 1) 2 + 1
×
1
2
× |z|
=
1
2
× |z|.
Le rayon de convergence est donc R = 2.
2. La suite a n =
ch n
sh
2 n
est définie pour n = / 0. Cherchons d'abord un équivalent :
a n =
2(e n + e −n )
(e n − e −n ) 2 ∼
∞
2
e n .
On a donc : lim
n→+∞
|a n+1 x 2(n+1) |
|a n x 2n |
= lim
n→+∞
2
e n+1 ×
e n
2
× |x|
2
=
1
e
× |x|
2 .
1
e
× |x|
2
< 1 ⇐⇒ |x| <
√
e .
Le rayon de convergence est donc R =
√
e .
Dans les deux questions de cet exercice, la règle de d'Alembert a été utilisée à titre
d'entraînement. Mais on pouvait aller plus vite en remarquant que, dans les deux
cas, |u n | est équivalent au terme général d'une série géométrique :
1. |u n (z)| ∼
n→∞
|z|
2
n
d'où R = 2.
2. |u n (x)| ∼
n→∞
2
|x| 2
e
n
d'où R =
√
e.
Exercice 9.3 : Calculs de rayons de convergence avec la définition
Les deux questions qui suivent sont indépendantes.
1. Soit (a n ), (b n ), (c n ) des suites numériques telles que :
∀n ∈ N
|a n | |b n | |c n | .
On suppose que les séries entières
a n z
n et
c n z
n ont le même rayon de
convergence R.
Que peut-on dire du rayon de convergence de
b n z
n ?
2. Soit (a n ) une suite réelle. Comparer les rayons de convergence R 1 de
a n z
n
et R 2 de
a
2
n z
n .
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Chapitre 9 • Séries entières