274
Chapitre 9 • Séries entières
Compléments
Pour k ∈ N ∗ , on note a k =
+∞
n=1
n k
2 n+1 .
La deuxième série est égale à 2a 1 et la troisième à 2a 2 .
a k est le nombre de façons de classer k personnes en admettant les ex-aequo.
On montre que a k ∼
∞
k!
2 × (ln 2) k+1 .
On peut montrer que a k ∈ N en calculant :
k
j=1
k
j
a j =
∞
n=1
1
2 n+1
k
j=1
k
j
n
j
=
∞
n=1
1
2 n+1
(n + 1)
k
− 1
=
∞
n =2
n k
2 n −
1
2
= 2
a k −
1
4
−
1
2
= 2a k − 1
donc a k = 1 +
k−1
j=1
k
j
a j puis a k ∈ N par récurrence.
Les premières valeurs sont : a 1 = 1, a 2 = 1 + 2 = 3, a 3 = 1 + 3a 1 + 3a 2 = 13.
Exercice 9.2 : Calculs de rayons de convergence
avec la règle de d'Alembert
Les deux questions qui suivent sont indépendants.
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
+∞
n=0
i n n 2
(n 2 + 1)2 n z
n
(z ∈ C).
2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
+∞
n=1
ch n
sh
2 n
x
2n (x ∈ R).
Pour une série entière
a n z
n , on détermine souvent R à partir de la règle de
d'Alembert. Si la limite lim
n→+∞
|a n+1 z n+1 |
|a n z n |
= l|z|
k existe, en écrivant :
l|z| k < 1 ⇐⇒ |z| <
k
1
l
on obtient R =
k
1
l
.