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Exercice 9.1 : Calculs de sommes de séries numériques
Calculer les sommes :
+∞
n=1
1
n2 n ;
+∞
n=1
n
2 n ;
+∞
n=1
n 2
2 n .
Vous pouvez partir de la série entière
+∞
n=0
x
n , en déduire d'autres séries, puis choisir x.
• On peut dériver et intégrer terme à terme la série
+∞
n=0
x
n
=
1
1 − x
à l'intérieur de l'intervalle de convergence ] − 1,+1[ .
On a donc :
+∞
n=1
x n
n
=
x
0
+∞
n=1
t
n−1
dt =
x
0
dt
1 − t
= −ln(1 − x)
+∞
n=1
nx
n
= x
+∞
n=1
nx
n−1
= x
d
dx
1
1 − x
=
x
(1 − x) 2 .
+∞
n=1
n
2 x
n
= x
2
+∞
n=1
n
2 x
n−2
= x
2
+∞
n=2
n(n − 1)x
n−2
+ x
+∞
n=1
nx
n−1
=
2x 2
(1 − x) 3 +
x
(1 − x) 2
Les rayons de convergence des trois séries sont égaux à 1.
• En remplaçant x par
1
2
, on obtient :
+∞
n=1
1
n2 n = ln 2 ;
+∞
n=1
n
2 n = 2 ;
+∞
n=1
n 2
2 n = 6 .
Séries entières
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