L'inégalité
2π
0
|g(t)|
2 dt
2π
0
|g
(t)|
2 dt
est donc équivalente à
b
a
| f (x)|
2 dx
b − a
2π
2 b
a
| f
(x)|
2 dx.
Pour résumer, nous avons démontré le résultat suivant. Soit (a,b) ∈ R 2 avec
a < b. Soit f : [a,b] → C une fonction de classe C 1 telle que f (a) = f (b)
et
b
a
f (x) dx = 0. Alors, nous avons
b
a
| f (x)|
2 dx
b − a
2π
2 b
a
| f
(x)|
2 dx.
Pour finir, traduisons le cas d'égalité. Nous avons vu que l'inégalité précédente est une égalité si, et seulement si, il existe (α,β) ∈ C 2 tel que
∀t ∈ R, g(t) = αe
−it
+ βe
it
.
Cette condition est équivalente à la suivante : il existe (α,β) ∈ C 2 tel que,
pour tout x ∈ R,
f (x) = g( j −1 (x))
= αe
−i 2π
b−a
(x−a) + βe
i 2π
b−a
(x−a)
= αe
ia e
− 2iπ
b−a
x + βe
−ia e
2iπ
b−a
x .
Finalement, nous avons montré que
b
a
| f (x)|
2 dx =
b − a
2π
2 b
a
| f
(x)|
2 dx
si, et seulement si,
∃(γ,δ) ∈ C
2
, ∀x ∈ R, f (x) = γe
− 2iπ
b−a
x + δe
2iπ
b−a
x .
Il est toujours utile de vérifier le résultat que l'on annonce, sinon dans le cas général, au moins dans quelques cas particuliers. Considérons par exemple le cas où
γ = 0 et δ = 1 et vérifions, par un calcul explicite, que l'égalité est bien satisfaite.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier