Nous allons maintenant appliquer le résultat de la première question à la fonction g.
D'après la première question, si la fonction g est de classe C 1 , vérifie
g(0) = g(2π) et
2π
0
g(t) dt = 0, alors
2π
0
|g(t)|
2 dt
2π
0
|g
(t)|
2 dt.
Commençons par traduire les hypothèses relatives à g en utilisant la fonction f.
• La fonction g est de classe C 1 car f et j le sont.
• g(0) = g(2π) :
Nous avons g(0) = f (a) et g(2π) = f (b). Par conséquent, cette condition
équivaut à f (a) = f (b).
•
2π
0
g(t) dt = 0 :
Le changement de variable t = j −1 (x) donne
2π
0
g(t) dt =
2π
b − a
b
a
f (x) dx.
La condition équivaut donc à
b
a
f (x) dx = 0.
Pour traduire la conclusion, nous allons calculer les intégrales
2π
0 |g(t)| 2 dt
et
2π
0 |g (t)| 2 dt en fonction de f. Comme précédemment, nous allons effectuer le changement de variable t = j −1 (x). Pour la première intégrale, nous
obtenons
2π
0
|g(t)|
2 dt =
2π
b − a
b
a
| f (x)|
2 dx.
Afin de calculer la seconde, remarquons que nous avons
∀t ∈ ]0,2π[, g
(t) = j
(t) f
( j (t)) =
b − a
2π
f
( j (t)).
Nous obtenons donc
2π
0
|g
(t)|
2 dt =
b − a
2π
b
a
| f
(x)|
2 dx.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier