n ∈ Z \ {−1,0,1} . Elle satisfait donc l'égalité
2π
0
| f (t)|
2 dt =
2π
0
| f
(t)|
2 dt.
Pour résumer, nous avons montré que
2π
0
| f (t)|
2 dt =
2π
0
| f
(t)|
2 dt
si, et seulement si,
∃(α,β) ∈ C
2
, ∀x ∈ R, f (x) = αe
−i x
+ βe
i x
.
2. L'énoncé nous demande, à présent, d'adapter le résultat pour des fonctions définies sur un segment quelconque. Considérons donc un segment [a,b] et une fonction f définie sur ce segment. Deux solutions se présentent : nous pouvons
– soit reprendre tout le raisonnement de la première question en utilisant la théorie
des séries de Fourier pour les fonctions (b − a)-périodiques ;
– soit associer à f une fonction g définie sur [0,2π] à laquelle nous appliquerons les
résultats obtenus à la question précédente.
On s'en doute, c'est la seconde méthode qui est la plus rapide. C'est elle que nous
allons mettre en œuvre en effectuant un changement de variable affine.
Soit (a,b) ∈ R 2 avec a < b. Soit f : [a,b] → C une fonction de classe C 1 .
Considérons la fonction
j : [0,2π] →
[a,b]
x
→
b − a
2π
x + a
.
C'est une bijection d'inverse
j −1 : [a,b] →
[0,2π]
x
→
2π
b − a
(x − a)
.
Posons
g = f ◦ j : [0,2π] →
C
x
→ f
b − a
2π
x + a
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier