En passant à la limite lorsque n tend vers +∞, nous obtenons
lim
n→∞
n
k=−n
|c k (g)|
2 (1 − n
2
0 )|c n 0 (g)|
2
+ lim
n→∞
n
k=−n
k
2
|c k (g)|
2
< lim
n→∞
n
k=−n
k
2
|c k (g)|
2
.
Les intégrales
2π
0
| f (t)|
2 dt et
2π
0
| f
(t)|
2 dt ne peuvent donc pas être
égales.
En revanche, si pour tout n ∈ Z \ {0}, nous avons |c n (g)| 2 = n 2 |c n (g)| 2 ,
alors les intégrales sont égales. Nous avons donc montré que
2π
0
| f (t)|
2 dt =
2π
0
| f
(t)|
2 dt
si, et seulement si,
∀n ∈ Z \ {0}, |c n (g)|
2
= n
2
|c n (g)|
2
.
Il nous reste à interpréter cette dernière condition de façon plus explicite en termes
de la fonction f. Puisque la fonction g est continue et de classe C 1 par morceaux, le
théorème de Dirichlet assure qu'elle est somme de sa série de Fourier. Nous pourrons donc lire sur la fonction g (et donc sur la fonction f) les conditions sur les coefficients de Fourier.
Cette dernière condition est encore équivalente à la suivante :
∀n ∈ Z \ {−1,0,1}, c n (g) = 0.
Puisque la fonction g est continue et de classe C 1 par morceaux, le théorème de Dirichlet s'applique. Sous la condition précédente, il assure, vu que
c 0 (g) = 0 par hypothèse, que :
∀x ∈ R, g(x) = c −1 (g)e
−i x
+ c 1 (g)e
i x
.
La fonction f est donc de la forme
f : [0,2π] →
C
x
→ αe −i x + βe i x ,
avec (α,β) ∈ C 2 .
Réciproquement, toute fonction f de la forme précédente est de classe C 1 par
morceaux, prend la même valeur en 0 et en 2π (à savoir α + β), est d'intégrale nulle sur [0,2π] et la fonction g associée vérifie c n (g) = 0 pour tout
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Chapitre 8 • Séries de Fourier