L'égalité précédente est donc encore valable lorsque k = 0.
Nous en déduisons que
2π
0
| f (t)|
2 dt = 2π lim
n→∞
n
k=−n
|c k (g)|
2
2π lim
n→∞
n
k=−n
k
2
|c k (g)|
2
2π
0
| f
(t)|
2 dt.
Nous avons obtenu l'inégalité demandée. Il nous reste maintenant déterminer à
quelle condition c'est une égalité. Vu les calculs précédents, il semble qu'il faille que
k 2 |c k (g)| 2 = |c k (g)| 2 , pour tout k ∈ Z. Démontrons ce fait. Précisément, nous
allons démontrer que si l'une de ces égalités n'est pas satisfaite, alors l'inégalité entre
les intégrales est stricte.
Nous allons supposer qu'il existe n 0 ∈ Z \ {0} tel que |c n 0 (g)| 2 < n
2
0 |c n 0 (g)| 2 . On
en déduit que
∀n |n 0 |,
n
k=−n
|c k (g)|
2
<
n
k=−n
k
2
|c k (g)|
2
.
Cette inégalité ne suffit pas pour conclure ! En effet, lorsque l'on passe à la limite, les inégalités strictes deviennent larges et nous ne pouvons pas obtenir mieux
que
lim
n→∞
n
k=−n
|c k (g)|
2
lim
n→∞
n
k=−n
k
2
|c k (g)|
2
,
ce que nous connaissons déjà.
Nous devons donc préciser l'inégalité. À cet effet, nous allons chercher à minorer la
différence des termes.
Supposons qu'il existe n 0 ∈ Z \ {0} tel que |c n 0 (g)| 2 < n
2
0 |c n 0 (g)| 2 . Pour
tout n |n 0 |, nous avons
n
k=−n
|c k (g)|
2
= |c n 0 (g)|
2
+
−nkn
k /
= n 0
|c k (g)|
2
|c n 0 (g)|
2
+
−nkn
k /
= n 0
k
2
|c k (g)|
2
(1 − n
2
0 )|c n 0 (g)|
2
+
−nkn
k
2
|c k (g)|
2
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier