Appliquons le théorème de Parseval à la fonction g : nous avons
1
2π
2π
0
|g(t)|
2 dt = lim
n→∞
n
k=n
|c k (g)|
2
.
Puisque la fonction g coïncide avec la fonction f sur l'intervalle [0,2π], on
en déduit que
1
2π
2π
0
| f (t)|
2 dt = lim
n→∞
n
k=−n
|c k (g)|
2
.
Ici, il est naturel de calculer les intégrales sur l'intervalle [0,2π]. En effet, il est
adapté aux données de l'énoncé puisque c'est le domaine de définition de la fonction f.
La fonction g est 2π-périodique et continue par morceaux. Nous pouvons
donc lui appliquer le théorème de Parseval. En remarquant que la fonction g
coïncide avec la fonction f sur ]0,2π[, nous obtenons
1
2π
2π
0
| f
(t)|
2 dt = lim
n→∞
n
k=−n
|c k (g
)|
2
.
D'après le cours, pour tout k ∈ Z, nous avons
c k (g
) = ikc k (g).
En conséquence,
1
2π
2π
0
|g
(t)|
2 dt = lim
n→∞
n
k=−n
k
2
|c k (g)|
2
.
Nous devons maintenant comparer les quantités trouvées. Pour tout k ∈ Z \ {0},
nous avons k 2 1 et donc |c k (g)| 2 k 2 |c k (g)| 2 . Nous obtenons donc une inégalité
dans le sens souhaité. Il nous reste à traiter le cas du coefficient d'indice 0.
L'hypothèse sur l'intégrale de f montre qu'il est nul ; il ne nous gênera donc pas.
Pour tout k ∈ Z \ {0}, nous avons k 2 1, et donc
|c k (g)|
2 k
2
|c k (g)|
2
.
Par hypothèse, nous avons
c 0 (g) =
1
2π
2π
0
f (t) dt = 0.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier