Nous avons
f (0) = f (2π).
Par conséquent, nous pouvons prolonger la fonction f par 2π-périodicité en
une fonction que nous noterons g. Pour tous k ∈ Z et x ∈ [0,2π], nous
avons
g(2kπ + x) = f (x).
La fonction g est définie sur R, 2π-périodique, continue et de classe C 1 par
morceaux. Plus précisément, la fonction g est de classe C 1 sur R \ 2πZ et
nous avons
∀x ∈ R \ 2πZ, g
(x) = f
(x).
En général, la fonction g est de classe C 1 par morceaux, mais pas de classe C 1 . Son
graphe présente en effet des ruptures de pente lorsque f (0) = / f (2π) ; c'est par
exemple le cas si la fonction f est la fonction t → sin(t/2) , comme on le voit sur
la figure suivante :
264
Chapitre 8 • Séries de Fourier
0
1
π
2π
−π
−2π
Cependant, nous pouvons quand même parler de la dérivée g de g : cette fonction
est définie partout sauf, éventuellement, en un nombre de points fini sur chaque
segment. Nous désignerons alors par g n'importe quel prolongement de g à R. Le
choix des valeurs par lesquelles on prolonge g n'a pas d'importance puisque l'on
cherche à utiliser la théorie des séries de Fourier : les coefficients de Fourier sont
définis par des intégrales et on peut donc modifier la valeur de la fonction considérée en un nombre de points fini sur le segment d'intégration.
De plus nous savons que, lorsque u est une fonction continue et de classe C 1 par
morceaux et que l'on désigne par u un prolongement de sa dérivée comme expliqué ci-dessus, nous avons la relation c n (u ) = inc n (u) pour tout entier relatif n.
f (0) = f (2π).
Par conséquent, nous pouvons prolonger la fonction f par 2π-périodicité en
une fonction que nous noterons g. Pour tous k ∈ Z et x ∈ [0,2π], nous
avons
g(2kπ + x) = f (x).
La fonction g est définie sur R, 2π-périodique, continue et de classe C 1 par
morceaux. Plus précisément, la fonction g est de classe C 1 sur R \ 2πZ et
nous avons
∀x ∈ R \ 2πZ, g
(x) = f
(x).
En général, la fonction g est de classe C 1 par morceaux, mais pas de classe C 1 . Son
graphe présente en effet des ruptures de pente lorsque f (0) = / f (2π) ; c'est par
exemple le cas si la fonction f est la fonction t → sin(t/2) , comme on le voit sur
la figure suivante :
264
Chapitre 8 • Séries de Fourier
0
1
π
2π
−π
−2π
Cependant, nous pouvons quand même parler de la dérivée g de g : cette fonction
est définie partout sauf, éventuellement, en un nombre de points fini sur chaque
segment. Nous désignerons alors par g n'importe quel prolongement de g à R. Le
choix des valeurs par lesquelles on prolonge g n'a pas d'importance puisque l'on
cherche à utiliser la théorie des séries de Fourier : les coefficients de Fourier sont
définis par des intégrales et on peut donc modifier la valeur de la fonction considérée en un nombre de points fini sur le segment d'intégration.
De plus nous savons que, lorsque u est une fonction continue et de classe C 1 par
morceaux et que l'on désigne par u un prolongement de sa dérivée comme expliqué ci-dessus, nous avons la relation c n (u ) = inc n (u) pour tout entier relatif n.