Il faut donc distinguer le cas k = n, mais attention ! k ne peut pas être égal à n
lorsque n est strictement négatif... Il ne faut pas oublier que nous calculons ici les
coefficients de Fourier complexes et donc que l'entier n prend ses valeurs dans Z.
• Si n < 0 on a
2π
0
e i(k−n)t
k!
dt = 0 pour tout k ∈ N car alors k − n ne
peut être nul.
• Si n ∈ N, cette intégrale est nulle sauf si k = n, auquel cas elle vaut
2π/n!.
En conséquence, la série précédemment obtenue a tous ses termes nuls, sauf
éventuellement un. En résumé :
si n < 0, c n = 0 ;
si n 0, c n = 1/n!.
Il n'y a plus désormais qu'à écrire l'égalité de Parseval pour conclure, comme nous
l'avons remarqué au début de l'exercice.
Étant donné que |e e it | = |e cos(t)+i sin(t) | = e cos(t) , l'égalité de Parseval
appliquée à la fonction f donne
1
2π
2π
0
e
2 cos(t) dt =
+∞
n=0
1
(n!) 2 .
Exercice 8.6 : Inégalité de Wirtinger
1. Soit f une application de classe C 1 de [0,2π] dans C vérifiant f (0) = f (2π) et
2π
0
f (t) dt = 0. Démontrer que
2π
0
| f (t)|
2 dt
2π
0
| f
(t)|
2 dt . Préciser le
cas d'égalité.
2. Adapter au cas d'un segment quelconque.
1. L'inégalité à établir n'est a priori pas évidente. Le fait que l'exercice se situe dans
le chapitre consacré aux séries de Fourier permet néanmoins de trouver une interprétation : chacune de ces intégrales peut s'exprimer, par le théorème de Parseval,
comme une somme de série. Qui plus est, nous savons exprimer les coefficients de
Fourier de f en fonction de ceux de f. Ceci nous permettra de conclure.
Nous venons de commettre un abus : f n'a pas de coefficients de Fourier puisqu'elle
n'est pas périodique ! Il faut préalablement prolonger la fonction en une fonction
périodique.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier