Remarquons que la fonction f peut s'écrire sous forme d'une série :
exp(e it ) =
+∞
n=0
(e it ) n
n!
=
+∞
n=0
1
n!
e
int
.
Nous avons l'impression d'avoir écrit ici le théorème de Dirichlet ! Visiblement, les
coefficients de Fourier de f sont égaux à 1/n! (si n 0) ou nuls (si n < 0). Nous
allons maintenant vérifier que les coefficients de Fourier de f sont bien ceux que l'on
lit sur ce développement en série (et donc qu'il s'agit effectivement de la série de
Fourier de f).
Soit n ∈ Z. Alors :
c n ( f ) =
1
2π
2π
0
e
e it e
−int dt
=
1
2π
2π
0
+∞
k=0
(e it ) k
k!
e
−int dt
=
1
2π
2π
0
+∞
k=0
e i(k−n)t
k!
dt
Pour intervertir l'intégrale et la série, plusieurs théorèmes peuvent être utilisés. Ici,
il y a visiblement convergence normale sur le segment [0,2π].
Pour k ∈ N et t ∈ [0,2π] posons f k (t) = e i(k−n)t /k!. f k est bornée sur
[0,2π] et || f k || ∞ = 1/k!. Ainsi, la série de fonctions
f k est normalement convergente sur [0,2π]. En conséquence, on peut intervertir série et
intégrale, ce qui fournit la relation
c n ( f ) =
1
2π
+∞
k=0
2π
0
e i(k−n)t
k!
dt
=
1
2π
+∞
k=0
1
k!
2π
0
e
i(k−n)t dt
Chaque intégrale est aisée à calculer : en effet, si λ ∈ Z, on a
2π
0
e
iλt dt =
e iλt
λ
2π
0
= 0
et, si λ = 0, cette intégrale est égale à 2π.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier