Il reste à résoudre l'équation caractéristique puis à déterminer les paramètres qui
apparaissent dans la solution générale à l'aide des premiers termes.
L'équation caractéristique de la relation de récurrence est r 2 + (5/2)r + 1 = 0
dont les racines sont −2 et −1/2.
En conséquence, il existe deux réels λ et µ tels que :
∀n ∈ N
∗
,a n = λ(−2)
n
+ µ(−1/2)
n .
En écrivant cette relation pour n ∈ {1,2} on obtient le système
−2λ − µ/2 = −1/3
4λ + µ/4 = 1/6
dont on trouve sans peine les solutions : λ = 0 et µ = 2/3. Ainsi :
a 0 =
1
3
et, pour n ∈ N
∗
, a n =
2
3
−
1
2
n
=
(−1) n
3.2 n−1 .
Il est facile de vérifier le résultat. En effet, f étant de classe C ∞ , elle est égale à la
somme de sa série de Fourier (théorème de Dirichlet). Cette dernière somme peut
être calculée directement :
1
3
+
+∞
n=1
2
3
−
1
2
n
cos(nx) =
1
3
+
2
3
Re
+∞
n=1
−
e i x
2
n
et il n'y a plus qu'à sommer la série géométrique pour voir que l'on retrouve bien
f (x) .
Exercice 8.5 : Expression d'une intégrale sous forme de série
À l'aide de la fonction f : t → exp(e it ), montrer que
2π
0
e
2 cos(t) dt = 2π
+∞
n=0
1
(n!) 2 .
La relation demandée ressemble fortement à l'égalité de Parseval. D'ailleurs, le
membre de gauche n'est autre que
2π
0
| f (t)|
2 dt. Nous allons donc calculer les
coefficients de Fourier de f qui est bien 2π-périodique et continue par morceaux
sur R.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier