Le calcul de a 0 peut se faire par un changement de variable. Les règles de Bioche
ne donnant aucun résultat, nous allons effectuer le changement de variable standard
u = tan(t/2) qui permet toujours de calculer une intégrale d'une fraction rationnelle en sinus et cosinus.
Calculons a 0 en effectuant le changement de variable u = tan(t/2) :
a 0 =
1
2π
π
−π
1
5 + 4 cos(t)
dt
=
1
2π
+∞
−∞
1
5 + 4
1−u 2
1+u 2
2 du
1 + u 2
=
1
π
+∞
−∞
1
9 + u 2 du
=
1
9π
+∞
−∞
1
1 + (u/3) 2 du
=
1
9π
3 arctan(u/3)
+∞
−∞
=
1
3
.
Le calcul de a 1 peut certes se traiter de la même façon, mais aussi sans calcul en
effectuant la manipulation cos(t) = (1/4)(5 + 4 cos(t) − 5) au numérateur comme
lors de la détermination de la relation de récurrence :
Nous avons successivement :
a 1 =
1
π
π
−π
cos(t)
5 + 4 cos(t)
dt
=
1
4π
π
−π
5 + 4 cos(t) − 5
5 + 4 cos(t)
dt
=
1
4π
π
−π
1 dt −
5
4π
π
−π
1
5 + 4 cos(t)
dt
=
1
2
−
5
2
a 0
= −
1
3
.
Enfin, a 2 se déduit de la relation 2a 0 + a 2 = −
5
2
a 1 : a 2 =
1
6
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier