Pour tout entier n 1 :
a n + a n+2 =
1
π
π
−π
cos(nt) + cos((n + 2)t)
5 + 4 cos(t)
dt
=
1
π
π
−π
2 cos((n + 1)t) cos(t)
5 + 4 cos(t)
dt.
Il n'y a que le facteur cos(t) en trop au numérateur pour que l'on puisse faire apparaître a n+1 . On peut l'éliminer presque sans calcul en effectuant la manipulation
classique suivante sur les fractions qui consiste à faire apparaître le dénominateur
au numérateur :
X
5 + 4X
=
1
4
(5 + 4X) − 5
5 + 4X
=
1
4
−
5
4
1
5 + 4X
.
On a successivement :
a n + a n+2 =
1
2π
π
−π
cos((n + 1)t)(5 + 4 cos(t) − 5)
5 + 4 cos(t)
dt
=
1
2π
π
−π
cos((n + 1)t) dt −
5
2π
π
−π
cos((n + 1)t)
5 + 4 cos(t)
dt.
D'une part,
π
−π
cos((n + 1)t) dt =
sin((n + 1)t)
n + 1
π
−π
(car n + 1 = / 0)
et cette intégrale est donc nulle.
D'autre part, la seconde intégrale n'est autre que a n+1 à un facteur près. On
obtient alors
a n + a n+2 = −
5
2
a n+1
soit la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 :
∀n ∈ N
∗
,a n+2 +
5
2
a n+1 + a n = 0.
Par ailleurs, comme a 0 =
1
2π
π
−π
1
5 + 4 cos(t)
dt , les calculs précédents
montrent que 2a 0 + a 2 = −
5
2
a 1 .
Pour initialiser la relation de récurrence d'ordre 2 nous avons besoin des deux premiers termes qui sont a 1 et a 2 . Nous allons commencer par calculer a 0 , qui est de
toutes façons demandé, et dont on pourra tirer les valeurs de a 1 et a 2 sans peine par
les manipulations ci-dessus.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier