Ce n'est pas la manière la plus efficace de trouver la valeur de cette somme (voir
exercice 8.1)
Exercice 8.4 : Relation de récurrence sur les coefficients
de Fourier
Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction définie pour t ∈ R par
f (t) =
1
5 + 4 cos(t)
.
Pour cela, on pourra chercher une relation de récurrence entre ces coefficients.
Remarquons que la fonction est bien définie et continue par morceaux (et même de
classe C ∞ ) sur R et est paire. Ainsi, nous allons calculer ses coefficients de Fourier
réels, plus précisément les coefficients a n .
Pour obtenir une relation de récurrence entre ces coefficients, nous avons besoin
d'une relation de récurrence entre les réels cos(nt). On peut obtenir une telle relation à l'aide des formules de trigonométrie usuelles. La formule
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
appliquée avec a = (n + 1)t et b = ±t fournit :
cos(nt) + cos((n + 2)t) = 2 cos((n + 1)t) cos(t).
C'est cette relation qui permet d'étudier les polynômes de Chebyshev : si l'on souhaite démontrer l'existence de polynômes T n vérifiant T n ( cos(θ)) = cos(nθ), la
relation ci-dessus montre que l'on doit avoir
T n ( cos(θ)) + T n+2 ( cos(θ)) = 2 cos(θ)T n+1 ( cos(θ)).
Ceci impose que les polynômes T n vérifient la relation de récurrence
T n + T n+2 = 2X T n+1 et on vérifie sans peine que la suite de polynômes définie
ainsi et par ses premiers termes T 0 = 1 et T 1 = X vérifie bien la propriété
T n ( cos(θ)) = cos(nθ).
Nous pouvons donc calculer a n + a n+2 en espérant une simplification des calculs.
a 0 étant défini avec un facteur 1/(2π) (et non 1/π), les calculs que nous allons
effectuer ne sont valables que pour n 1. Dans le cas n = 0, ce ne sera pas a 0
mais 2a 0 qui interviendra. Nous traiterons ce cas ultérieurement.
258
Chapitre 8 • Séries de Fourier
exercice 8.1)
Exercice 8.4 : Relation de récurrence sur les coefficients
de Fourier
Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction définie pour t ∈ R par
f (t) =
1
5 + 4 cos(t)
.
Pour cela, on pourra chercher une relation de récurrence entre ces coefficients.
Remarquons que la fonction est bien définie et continue par morceaux (et même de
classe C ∞ ) sur R et est paire. Ainsi, nous allons calculer ses coefficients de Fourier
réels, plus précisément les coefficients a n .
Pour obtenir une relation de récurrence entre ces coefficients, nous avons besoin
d'une relation de récurrence entre les réels cos(nt). On peut obtenir une telle relation à l'aide des formules de trigonométrie usuelles. La formule
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
appliquée avec a = (n + 1)t et b = ±t fournit :
cos(nt) + cos((n + 2)t) = 2 cos((n + 1)t) cos(t).
C'est cette relation qui permet d'étudier les polynômes de Chebyshev : si l'on souhaite démontrer l'existence de polynômes T n vérifiant T n ( cos(θ)) = cos(nθ), la
relation ci-dessus montre que l'on doit avoir
T n ( cos(θ)) + T n+2 ( cos(θ)) = 2 cos(θ)T n+1 ( cos(θ)).
Ceci impose que les polynômes T n vérifient la relation de récurrence
T n + T n+2 = 2X T n+1 et on vérifie sans peine que la suite de polynômes définie
ainsi et par ses premiers termes T 0 = 1 et T 1 = X vérifie bien la propriété
T n ( cos(θ)) = cos(nθ).
Nous pouvons donc calculer a n + a n+2 en espérant une simplification des calculs.
a 0 étant défini avec un facteur 1/(2π) (et non 1/π), les calculs que nous allons
effectuer ne sont valables que pour n 1. Dans le cas n = 0, ce ne sera pas a 0
mais 2a 0 qui interviendra. Nous traiterons ce cas ultérieurement.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier