Nous avons donc
lim
λ→0
+∞
n=1
1
n 2 + λ
2
=
+∞
n=1
1
n 2 .
Passons, à présent, au second membre de l'égalité :
π
2λth(λπ)
−
1
2λ
2
.
Il s'agit d'une forme indéterminée lorsque λ tend vers 0. Nous pouvons lever cette
indétermination à l'aide des développements limités.
Cherchons maintenant la limite du second terme lorsque λ tend vers 0.
Commençons par calculer un développement limité de 1/th(x) quand x tend
vers 0. Nous avons successivement
1
th(x)
=
ch(x)
sh(x)
=
1 +
x 2
2 + o(x 2 )
x +
x 3
6 + o(x 3 )
=
1
x
1 +
x 2
2
+ o(x
2
)
1
1 +
x 2
6 + o(x 2 )
=
1
x
1 +
x 2
2
+ o(x
2
)
1 −
x 2
6
+ o(x
2
)
=
1
x
1 +
x 2
3
+ o(x
2
)
=
1
x
+
x
3
+ o(x).
On en déduit que
π
2λth(λπ)
−
1
2λ
2
=
π
2λ
1
λπ
+
λπ
3
+ o(λ)
−
1
2λ
2
=
π 2
6
+ o(1).
Finalement, en prenant la limite des deux termes de l'égalité lorsque λ tend
vers 0, nous obtenons
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier