Ce n'est pas encore exactement l'égalité recherchée. Nous allons donc la manipuler
pour lui donner la forme voulue. À cet effet, nous ferons appel à quelques résultats
sur les fonctions trigonométriques hyperboliques.
Puisque λ ∈ R ∗ , sh(λπ) = / 0. Nous pouvons donc mutiplier les deux
membres de l'égalité par π 2 /(2sh
2
(λπ)). Nous obtenons
+∞
n=1
1
n 2 + λ
2
=
2sh(λπ)ch(λπ)π 2
4λπsh
2
(λπ)
−
1
2λ
2
=
π
2λth(λπ)
−
1
2λ
2
.
Les formules de trigonométrie hyperboliques étant moins classiques que les formules de trigonométrie, nous donnons ici une démonstration de celle que nous
avons utilisée. En cas de doute, il ne faut pas hésiter à prendre le temps de refaire
ce calcul rapide. Nous avons
sh(2λπ) =
e 2λπ − e −2λπ
2
=
(e λπ + e −λπ )(e λπ − e −λπ )
2
= 2ch(λπ)sh(λπ).
2. Nous devons calculer la limite des deux membres de l'égalité lorsque λ tend vers
0. Aucune des deux n'est complétement évidente.
Commençons par le membre de gauche. Il s'agit visiblement d'intervertir une série
et une limite. Nous allons donc chercher à démontrer la convergence normale de la
série (comme série de fonctions de la variable λ).
Pour tout n ∈ N ∗ , considérons la fonction
f n : R →
R
λ →
1
n 2 + λ
2
.
Pour tout n ∈ N ∗ , nous avons
∀λ ∈ R, | f n (λ)|
1
n 2 ,
qui est le terme général d'une série convergente. Par conséquent, la série
f n converge normalement sur R. Puisque toutes les fonctions f n sont
continues en 0, leur somme l'est aussi.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier