théorème de Parseval, qui fait intervenir le module au carré des coefficients de
Fourier.
D'après le théorème de Parseval,
lim
N →+∞
N
n=−N
|c n ( f )|
2
=
1
2π
π
−π
| f (x)|
2 dx.
Il nous reste maintenant à calculer chacun des deux termes de cette inégalité. En ce
qui concerne le terme de gauche, nous devons l'exprimer sous la forme d'une somme
de série. Il faut donc passer d'une somme sur Z à une somme sur N. Nous y parviendrons en regroupant les termes d'indice n et −n.
Calculons les deux termes de cette égalité. Soit n ∈ Z. Nous avons
|c n ( f )|
2
=
sh
2
(λπ)
π 2 (λ
2
+ n 2 )
.
En particulier, nous remarquons que |c n ( f )| 2 = |c −n ( f )| 2 . Nous avons donc
∀N ∈ N,
N
n=−N
|c n ( f )|
2
= |c 0 ( f )|
2
+ 2
N
n=1
|c n ( f )|
2
.
En passant à la limite, nous obtenons
lim
N →+∞
N
n=−N
|c n ( f )|
2
=
sh
2
(λπ)
π 2 λ
2
+
+∞
n=1
2sh
2
(λπ)
π 2 (λ
2
+ n 2 )
.
Calculons, à présent, l'intégrale. Nous avons
1
2π
π
−π
| f (x)|
2 dx =
1
2π
π
−π
e
2λx dx
=
1
2π
e 2λx
2λ
π
−π
=
1
2π
e 2λπ − e −2λπ
2λ
=
sh(2λπ)
2λπ
.
En revenant maintenant à l'égalité, nous obtenons
+∞
n=1
2sh
2
(λπ)
π 2 (λ
2
+ n 2 )
=
sh(2λπ)
2λπ
−
sh
2
(λπ)
π 2 λ
2
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier