1. C'est une application directe de la définition.
La fonction f est 2π-périodique et continue par morceaux. Pour n ∈ Z nous
avons
c n ( f ) =
1
2π
π
−π
e
λx e
−inx dx
=
1
2π
π
−π
e
(λ−in)x dx
=
1
2π
e (λ−in)x
λ − in
π
−π
car λ = / in, puisque λ est un nombre réel non nul et in un nombre imaginaire pur. Nous avons donc
c n ( f ) =
1
2π
e (λ−in)π − e −(λ−in)π
λ − in
=
(−1) n
2π
e λπ − e −λπ
λ − in
=
(−1) n
2π
2sh(λπ)
λ − in
=
(−1) n sh(λπ)
π(λ − in)
.
2. La formule à démontrer fait intervenir une somme de série. Le terme général de
cette série possède un terme n 2 au dénominateur, alors que le coefficient de Fourier
c n ( f ) possède un terme n au dénominateur. Nous allons donc chercher à utiliser le
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Chapitre 8 • Séries de Fourier
0
1
2
π
2π
−π
−2π