Noter que les formules précédentes, dans les cas a = 1 ou a = 1/2, redonnent le
résultat de l'exercice 8.1.
3. Ici, de nouveau, il s'agit d'une application directe du cours. Il s'agira surtout,
comme précédemment, de simplifier l'expression obtenue.
D'après le théorème de Parseval,
|a 0 ( f )|
2
+
1
2
+∞
n=1
|a n ( f )|
2
=
1
2π
π
−π
| f (x)|
2 dx.
En remplaçant les coefficients de Fourier par leur expression, nous obtenons
a 2
π 2 +
2
π 2
+∞
n=1
sin
2
(na)
n 2
=
1
2π
a
−a
dx =
a
π
,
autrement dit,
+∞
n=1
sin
2
(na)
n 2
=
(π − a)a
2
.
Exercice 8.3 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries
de Fourier III
Soit λ ∈ R ∗ . On considère la fonction f : R → R , 2π-périodique, définie par
∀x ∈ [−π,π[, f (x) = e
λx
.
1. Déterminer les coefficients de Fourier complexes de la fonction f.
2. En déduire l'égalité
+∞
n=1
1
n 2 + λ
2
=
π
2λth(πλ)
−
1
2λ
2
.
3. Qu'obtient-on en faisant tendre λ vers 0 dans la formule ci-dessus ? On prendra soin de justifier rigoureusement toutes les étapes du calcul.
La fonction f ne présente aucune propriété de symétrie particulière. Voici l'allure de
sa représentation graphique quand λ > 0 :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
253
Chapitre 8 • Séries de Fourier