En particulier, pour x = 0, nous obtenons
+∞
n=1
sin(na)
n
=
π − a
2
.
La question posée ici est ouverte. Il ne faut donc pas craindre de prendre des initiatives et de spécialiser les formules en des points particuliers lorsque cela s'y
prête. Ici, par exemple, considérer le cas x = 0 permet d'obtenir une formule élégante qui n'est absolument pas évidente.
• Soit x ∈ ]a,π].
La fonction f est continue au point x et vaut 0 en ce point. On en déduit
que
a
π
+
+∞
n=1
2 sin(na)
nπ
cos(nx) = 0,
autrement dit,
+∞
n=1
sin(na)
n
cos(nx) = −
a
2
.
En particulier, pour x = π, nous obtenons
+∞
n=1
(−1)
n sin(na)
n
= −
a
2
.
• Considérons le point x = a.
La fonction f n'est pas continue en ce point : sa limite à gauche vaut 1 et
sa limite à droite 0. Nous obtenons donc
a
π
+
+∞
n=1
2 sin(na)
nπ
cos(na) =
1
2
,
autrement dit,
+∞
n=1
sin(na)
n
cos(na) =
π
4
−
a
2
,
ou encore
+∞
n=1
sin(2na)
n
=
π
2
− a.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier