a n ( f ) =
1
π
π
−π
f (x) cos(nx) dx
=
1
π
a
−a
cos(nx) dx
=
1
π
sin(nx)
n
a
−a
=
2 sin(na)
nπ
.
Le dernier calcul n'est bien valable que pour n 1 : en effet, n apparaît au dénominateur. C'est une situation fréquente dans les calculs de coefficients de Fourier.
2. Il s'agit ici d'une application directe du cours.
La fonction f est de classe C 1 par morceaux. Nous pouvons donc appliquer
le théorème de Dirichlet : pour tout réel x ∈ R,
a
π
+
+∞
n=1
2 sin(na)
nπ
cos(nx) =
1
2
lim
t→x −
f (t) + lim
t→x +
f (t)
.
Le membre de droite n'est guère explicite. Nous allons le calculer en distinguant
plusieurs cas. Les propriétés de la fonction f nous permettront de restreindre les cas
à étudier.
La fonction f est 2π-périodique et paire. On en déduit que la formule ci-dessus est inchangée lorsque l'on remplace x par x + 2kπ, avec k ∈ Z, ou par
−x. Il nous suffit donc de considérer les nombres réels x appartenant au
segment [0,π]. Nous distinguerons plusieurs cas.
• Soit x ∈ [0,a[.
La fonction f est continue au point x et vaut 1 en ce point. On en déduit
que
a
π
+
+∞
n=1
2 sin(na)
nπ
cos(nx) = 1,
autrement dit,
+∞
n=1
sin(na)
n
cos(nx) =
π − a
2
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier