Exercice 8.2 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries
de Fourier II
On fixe un réel a ∈ ]0,π[. On considère la fonction f, définie sur [−π,π] , valant
1 sur [−a,a] et 0 en dehors. On prolonge f par 2π-périodicité sur R.
1. Déterminer les coefficients de Fourier de f.
2. Quelles formules obtient-on en appliquant le théorème de Dirichlet ?
3. Quelle formule obtient-on en appliquant le théorème de Parseval ?
1. Le graphe de la fonction f a l'allure suivante :
250
Chapitre 8 • Séries de Fourier
Nous constatons que la fonction f est paire. Ainsi, nous nous contenterons de calculer les coefficients a n ( f ), pour n ∈ N.
f étant paire, nous avons
∀n ∈ N
∗
, b n ( f ) = 0.
Par ailleurs,
a 0 ( f ) =
1
2π
π
−π
f (x) dx
=
1
2π
a
−a
dx
=
a
π
.
Soit n ∈ N ∗ . Nous avons enfin
de Fourier II
On fixe un réel a ∈ ]0,π[. On considère la fonction f, définie sur [−π,π] , valant
1 sur [−a,a] et 0 en dehors. On prolonge f par 2π-périodicité sur R.
1. Déterminer les coefficients de Fourier de f.
2. Quelles formules obtient-on en appliquant le théorème de Dirichlet ?
3. Quelle formule obtient-on en appliquant le théorème de Parseval ?
1. Le graphe de la fonction f a l'allure suivante :
250
Chapitre 8 • Séries de Fourier
Nous constatons que la fonction f est paire. Ainsi, nous nous contenterons de calculer les coefficients a n ( f ), pour n ∈ N.
f étant paire, nous avons
∀n ∈ N
∗
, b n ( f ) = 0.
Par ailleurs,
a 0 ( f ) =
1
2π
π
−π
f (x) dx
=
1
2π
a
−a
dx
=
a
π
.
Soit n ∈ N ∗ . Nous avons enfin