L'énoncé nous demande de calculer les coefficients de Fourier de f sans plus de
précisions. Nous avons remarqué que la fonction f était impaire et nous sommes
donc contentés de calculer les coefficients b n . Nous pouvons en déduire presque
sans calcul les coefficients c n à l'aide des formules rappelées en introduction.
Nous
obtenons
c 0 ( f ) = a 0 ( f ) = 0
et,
pour
tout
n ∈ N ∗ ,
c n = (a n − ib n )/2 = −i/(2n) et c −n = (a n + ib n )/2 = i/(2n) . On en déduit
que
∀n ∈ Z \ {0}, c n = −
i
2n
.
2. Ce genre de résultat s'obtient presque toujours en appliquant les théorèmes de
Dirichlet et de Parseval. Nous voyons que, dans la première somme, ce sont les
coefficients de Fourier qui interviennent, alors que dans la seconde ce sont leurs carrés. Cela nous suggère d'appliquer le théorème de Dirichlet pour calculer la première somme et celui de Parseval calculer pour la seconde.
La fonction f est 2π-périodique et de classe C 1 par morceaux. De plus, elle
est continue en 1. Ainsi, d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier
de f en 1 converge vers f (1). Nous avons donc
+∞
n=1
sin(n)
n
=
π − 1
2
.
Par ailleurs, le théorème de Parseval assure que la série
|a 0 ( f )|
2
+
1
2
n1
|a n ( f )|
2
+ |b n ( f )|
2
=
1
2
n1
1
n 2
converge et que sa somme est
1
2π
2π
0
| f (t)|
2 dt.
Calculons cette intégrale :
2π
0
| f (t)|
2 dt =
2π
0
(π − t) 2
4
dt
=
(t − π) 3
12
2π
0
=
π 3
6
.
.
On en déduit
+∞
n=1
1
n 2 = 2
1
2π
π 3
6
=
π 2
6
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier