Avant tout il faut penser à considérer la parité de la fonction f afin de simplifier
les calculs, comme nous l'avons rappelé en introduction.
On remarque que graphe de la fonction f est symétrique par rapport à l'origine :
cette fonction est donc impaire. Ainsi, nous aurons uniquement à calculer les coefficients de Fourier b n .
Vu la définition de la fonction f, il est naturel de calculer les coefficients à l'aide
d'une intégrale sur [0,2π]. Remarquons que, dans le calcul de cette intégrale, la
valeur de f en 0 n'intervient pas ! En effet, changer la valeur d'une fonction en un
nombre fini de points ne modifie pas la valeur de l'intégrale. C'est donc la fonction
t → (π − t) sin(nt)/2 que nous allons intégrer.
Calculons les coefficients de Fourier de la fonction f. Puisqu'elle est impaire, nous avons
∀n ∈ N, a n ( f ) = 0.
Par ailleurs, pour tout n ∈ N ∗ , nous avons
b n ( f ) =
1
π
2π
0
f (t) sin(nt) dt
=
1
π
2π
0
π − t
2
sin(nt) dt
=
1
2
2π
0
sin(nt) dt −
1
2π
2π
0
t sin(nt) dt.
On calcule directement la première intégrale : pour n ∈ N ∗ , nous avons
2π
0
sin(nt) dt =
−
cos(nt)
n
2π
0
= −
1
n
+
1
n
= 0.
Calculons la seconde intégrale à l'aide d'une intégration par parties :
2π
0
t sin(nt) dt =
t
− cos(nt)
n
2π
0
+
2π
0
cos(nt)
n
dt
= −2π
cos(2nπ)
n
+
sin(nt)
n 2
2π
0
= −
2π
n
.
Finalement, pour tout n ∈ N ∗ , nous obtenons
b n ( f ) =
1
n
.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier