si f est paire,
∀n ∈ N, c −n ( f ) = c n ( f ) ;
∀n ∈ N ∗ , b n ( f ) = 0 ;
si f est impaire,
∀n ∈ N, c −n ( f ) = −c n ( f ) ;
∀n ∈ N, a n ( f ) = 0.
Ces formules se démontrent simplement en effectuant le changement de variable
t → −t dans les intégrales définissant les coefficients de Fourier.
Enfin, il existe des formules pour traiter le cas des fonctions T-périodiques avec
T ∈ R ∗
+ quelconque. Ceci dit, on peut toujours ramener ce genre d'étude au cas 2πpériodique par un changement de variable dans les intégrales : si f est T-périodique,
la fonction g : t → f (t
T
2π ) est 2π-périodique. Une fois calculés les coefficients de
Fourier de g, on peut faire apparaître f dans les formules de Parseval ou de Dirichlet
obtenues avec g en effectuant le changement de variable u = t
T
2π dans les intégrales. Un raisonnement de ce type est proposé dans l'exercice 8.6.
Exercice 8.1 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries
de Fourier I
On considère la fonction f : R → R , 2π-périodique, définie par



f (0) = 0 ;
∀x ∈ ]0,2π[, f (x) =
π − x
2
.
1. Déterminer les coefficients de Fourier de f.
2. En déduire les valeurs de
+∞
n=1
sin(n)
n
et
+∞
n=1
1
n 2 .
1. La fonction f est continue par morceaux et 2π-périodique. Sa représentation graphique est la suivante :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 8 • Séries de Fourier
π
2π
3π
−π
−2π
−3π
π
2
−
π
2