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Chapitre 8 • Séries de Fourier
Dans le cas d'une fonction à valeurs réelles, il est également possible de définir des
coefficients de Fourier réels en utilisant les fonctions trigonométriques. Pour cela,
on pose
a 0 ( f ) = c 0 ( f ) =
1
2π
π
−π
f (t) dt
et, pour n ∈ N ∗ ,
a n ( f ) =
1
π
π
−π
f (t) cos(nt) dt
et
b n ( f ) =
1
π
π
−π
f (t) sin(nt) dt.
Les coefficients a n , b n et c n sont liés par les formules
∀n ∈ N
∗
, a n = c n + c −n et b n = i(c n − c −n )
et
∀n ∈ N
∗
, c n =
a n − ib n
2
et c −n =
a n + ib n
2
.
Avec ces notations, le théorème de Parseval devient
|a 0 ( f )|
2
+
1
2
+∞
n=1
|a n ( f )|
2
+ |b n ( f )|
2
=
1
2π
π
−π
| f (t)|
2 dt.
La conclusion du théorème de Dirichlet s'énonce alors :
a 0 ( f ) +
+∞
n=1
(a n ( f ) cos(na) + b n ( f ) sin(na)) =
1
2
lim
x→a −
f (x) + lim
x→a +
f (x)
.
Il existe d'autres conventions pour définir les coefficients de Fourier réels. Ces différentes conventions modifient les formules de Parseval et de Dirichlet en faisant
apparaître ou disparaître des facteurs 1/2. Par exemple, une convention fréquente
est de définir a 0 avec un facteur 1/π (on a donc alors une seule formule pour tous
les a n , n ∈ N), ce qui a pour effet de modifier a 0 en a 0 /2 dans les formules.
Pour finir, signalons que certaines propriétés de la fonction f se retrouvent sur ses
coefficients de Fourier. C'est le cas de la parité, qui permet de faire l'économie de
beaucoup de calculs :